摘 要 在自交和自由交配的常規(guī)計算當(dāng)中“找規(guī)律”法較為常用，即依據(jù)前幾代的結(jié)果推出一般規(guī)律。但該方法缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性和普適性。本文嘗試應(yīng)用經(jīng)典數(shù)學(xué)計算法、遞推數(shù)列求通項法和數(shù)學(xué)歸納法三種數(shù)學(xué)工具增強推理過程的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高其普適性，同時也展現(xiàn)生物學(xué)的理性之美。

　　關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)工具 自交和自由交配 經(jīng)典數(shù)學(xué)計算法 遞推數(shù)列求通項法 數(shù)學(xué)歸納法

　　1 經(jīng)典數(shù)學(xué)計算法

　　摘 要 在自交和自由交配的常規(guī)計算當(dāng)中“找規(guī)律”法較為常用，即依據(jù)前幾代的結(jié)果推出一般規(guī)律。但該方法缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性和普適性。本文嘗試應(yīng)用經(jīng)典數(shù)學(xué)計算法、遞推數(shù)列求通項法和數(shù)學(xué)歸納法三種數(shù)學(xué)工具增強推理過程的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高其普適性，同時也展現(xiàn)生物學(xué)的理性之美。

　　關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)工具 自交和自由交配 經(jīng)典數(shù)學(xué)計算法 遞推數(shù)列求通項法 數(shù)學(xué)歸納法

　　1. 1 Aa 連續(xù)自交 n 代，求 Fn 中 Aa 基因型頻率 用數(shù)學(xué)的等效思想不難看出，在親代中，A 基因與 a 基因是等效的，因此在連續(xù)自交后的每一代中 AA 個體與 aa 個體的數(shù)量是一樣的。可推出 P(AA) = P(aa)。通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，在 Aa 個體的自交過程中，純合子的后代具有“封閉性”，也就是說純合子(包括 AA 與 aa) 自交后代只有純合子，沒有性狀分離;而雜合子自交后代則會出現(xiàn)1 ∶ 2 ∶ 1 的典型的基因型分離比。因此Aa的基因型頻率每代都會減半。在第一代中，不難算出 P1 = 1 /2，又因為 Aa 的基因型頻率每代都會減半，所以得出了第 n 代中 Aa 的基因型頻率 P(Aa) = 1 /2n 。基于此，可進一步推算出 AA 與 aa 的基因型頻率。由于 P(AA) = P(aa)，P(AA) + P(aa) + P(Aa) = 1，可聯(lián)立解得第 n 代中 P(AA) = P(aa) = (1 - 1 /2n ) /2 = (2n - 1) /(2n+1 )

　　1. 2 Aa 連續(xù)自由交配 n 代，求 Aa 基因型頻率 在自由交配的過程中，有一個很明顯的特點就是 P(a) = P(A) = 1 /2，又因為不涉及去隱，因此每一代 A與 a 的基因頻率不變，故遵守哈迪 — 溫伯格遺傳平衡定律。所以，在第一代之后的每一代都有 P(Aa) = 1 /2。

　　1. 3 Aa 連續(xù)自交 n 代并逐代去隱，求去隱后第 n 代 Aa 基因型頻率 參考 1. 1 的結(jié)果可知，在不涉及去隱的情況下，有 P(AA) = P(aa) = (2n - 1) /2n+1 ，P(Aa) = 1 /2n 。又由于純合子自交后代只有純合子，而雜合子自交后代則會出現(xiàn) 1 ∶ 2 ∶ 1 的典型基因型分離比，所以去隱 aa 個體只對 AA，Aa 基因型頻率有影響，對自交后代 AA，Aa 的數(shù)量無影響。所以 Aa 連續(xù)自交 n 代并逐代去隱的第 n 代中 P'(Aa) = N × P(Aa) /[N × P(AA) + N × P(Aa)] = P(Aa) /[P(AA) + P(Aa)](N為Fn 個體總數(shù))，將P(Aa) = 1 /2n ， P(AA) = (2n - 1) /(2n+1 ) 代入，即 Aa 連續(xù)自交并逐代去隱，去隱后第 n 代 Aa 基因型頻率為 2 /(2n + 1)。

　　2 利用數(shù)列遞推公式求通項法

　　對“自由交配 n 代并逐代去隱，求去隱后第 n 代 Aa 基因型頻率”這一問題在筆者所見資料與所學(xué)中，未見有直接計算出結(jié)果的方法。由此可見經(jīng)典數(shù)學(xué)計算法與生物學(xué)知識結(jié)合的不足。經(jīng)過再三思考，筆者嘗試用數(shù)列遞推公式求通項法。解決這一問題。

　　2. 1 Aa 連續(xù)自交 n 代，求 Fn 中 Aa 基因型頻率 設(shè)第一代中 Aa 基因型頻率為 P1，第二代中 Aa 基因型頻率為 P2，第三代中 Aa 基因型頻率為 P3 ……第 n 代中 Aa 基因型頻率為 Pn。不難算出 P1 = 1 /2，在第 n 代中: P(Aa) = Pn，P(AA) = P(aa) = (1 - Pn ) /2。則自交一代后，在第 n + 1 代中，Aa 數(shù)量將減半: 所以 Pn+1 = P(Aa) = Pn /2，即 Pn+1 = Pn /2。由此得到了 Pn+1 與 Pn 的遞推公式，發(fā)現(xiàn)數(shù)列{Pn } 為首項 P1 = 1 /2，公比為1 /2 的等比數(shù)列，可以計算出{Pn } 的通項公式: Pn = 1 /2n ，而這說明，在第 n 代中，Aa 的基因型頻率為 1 /2n 。

　　2. 2 連續(xù)自由交配 n 代，求 Fn 中 Aa 基因型頻率 同樣設(shè)第一代中 Aa 基因型頻率為 P1，第二代中 Aa 基因型頻率為 P2，第三代中 Aa 基因型頻率為 P3 ……第 n 代中 Aa 基因型頻率為 Pn。不難算出 P1 = 1 /2，在第 n 代中: P(Aa) = Pn，P(AA) = P(aa) = (1 - Pn ) /2。從中求出 P(a) = P(aa) + P(Aa) /2 = 1 /2，P(A) = P(AA) + P(Aa) /2 = 1 /2。則 自 由 交 配 一 代 后，在 第 n + 1 代 中: Pn+1 = P(Aa) = 2P(A) P(a) = 1 /2，即 Pn+1 = 1 /2。又 P1 = 1 /2，發(fā)現(xiàn)數(shù)列{Pn } 為 Pn = 1 /2 的常數(shù)列。而這說明，在每一代中，Aa 的基因型頻率恒為 1 /2。

　　2. 3 Aa 連續(xù)自交 n 代并逐代去隱，求 Fn 中 Aa 基因型頻率 同樣設(shè)第一代去隱后 Aa 基因型頻率為 P1，第二代去隱后 Aa 基因型頻率為 P2，第三代去隱后 Aa 基因型頻率為 P3，……第 n 代去隱后 Aa 基因型頻率為 Pn。不難算出 P1 = 2 /3，在第 n 代中: P(Aa) = Pn， P(AA) = 1 - Pn，自交一代后，在第 n + 1 代中去隱前，Aa 數(shù)量將減半，即 P(Aa) = Pn /2，所以 P(AA) = (1 - Pn ) + Pn /4 = 1 - 3Pn /4，P(aa) = Pn /4。最終 得 出 去 隱 后 Pn+1 = P(Aa) = P(Aa) /[P(Aa) + P(AA)] = 2Pn /(4 - Pn )。這樣，我們也得到了{Pn } 的遞推公式 Pn+1 = 2Pn /(4 - Pn )。現(xiàn)對 Pn+1 = 2Pn /(4 - Pn ) 做一些數(shù)學(xué)處理，等號兩邊同時取倒數(shù)，得: 1 /Pn+1 = (4 - Pn ) /2Pn = 2 /Pn - 1 /2;等號兩邊同時減 1 /2，得: 1 /Pn+1 - 1 /2 = 2 /Pn - 1 = 2(1 /Pn - 1 /2)。我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列{1 /Pn - 1 /2} 為首項 = 1、公比為 2 的等比數(shù)列，所以 1 /Pn - 1 /2 = 2n-1 ，即 Pn = 2 /(2n + 1)。而這說明，Aa連續(xù)自交并逐代去隱后，F(xiàn)n 中 Aa 的基因型頻率為 2 /(2n + 1)。

　　3 數(shù)學(xué)歸納法

　　以“自由交配 n 代并逐代去隱，求去隱后第 n 代 Aa 基因型頻率”為例，介紹一下數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)。在使用數(shù)學(xué)歸納法之前要先歸納結(jié)論。也就是說，我們需要先根據(jù)前若干代(F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3…)的 Aa 基因型頻率觀察歸納，找出規(guī)律。如“自由交配 n 代并逐代去隱，求去隱后第 n 代 Aa 基因型頻率”中，先算出在第一代去隱后 P1 = 2 /3，第二代去隱后 P2 = 1 /2 = 2 /4，同理依次計算出 P3 = 2 /5，P4 = 2 /6，我們發(fā)現(xiàn)， P1P2P3P4… 存在明顯的規(guī)律，即分子不變，分母依次加 1，所以我們大膽猜想 Pn = 2 /(n + 2)。此過程到此結(jié)束，但這一過程只是猜想，其結(jié)果是否正確，還需要后續(xù)的證明，證明過程一般分三步。

　　第 1 步: 驗證奠基的正確。奠基就是我們猜想中的第一項。在本例中就是 P1 = 2 /3，顯然滿足猜想。第 2 步: 假設(shè)。在猜想的范圍內(nèi)作出合理假設(shè)，假設(shè)的依據(jù)來自于前面歸納的規(guī)律。如在本例中，我們假設(shè)在 n = k ≥ 1 時，Pk = 2 /(k + 2) 成立。第 3 步: 推理。由第 k 項合理外推到第 k + 1 項，觀察其是否也符合猜想。如本例中，由 Pk = 2 /(k + 2) 能否推出 Pk+1 = 2 /[(k + 1) + 2]成立。若成立，則大命題 Pn = 2 /(n + 2) 成立，反之則反。

　　綜上，自由交配 n 代并逐代去隱，去隱后第 n 代 Aa 基因型頻率 2 /(n + 2)。生物學(xué)既具有其獨特的人文性，也具有科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。筆者打破砂鍋算到底，正是對生物學(xué)中的理性思維的極致追求和理性呈現(xiàn)。但高中階段生物學(xué)中的理性思維被忽略較多，也常被稱為“理科中的文科”。從本文的論述過程不難看出數(shù)學(xué)學(xué)科在理科學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)性和工具性，數(shù)學(xué)與生物的結(jié)合，會使生物學(xué)更理性，更嚴(yán)謹(jǐn)。

　　《數(shù)學(xué)工具在自交和自由交配相關(guān)計算中的應(yīng)用探討 》來源：《生物學(xué)教學(xué)》，作者：李智杰，張興娟。