國(guó)內(nèi)正常教學(xué)體系下的數(shù)學(xué)，要經(jīng)歷幾次升學(xué)的轉(zhuǎn)變，其中最不受重視，而思維、邏輯轉(zhuǎn)變最大的當(dāng)屬中學(xué)數(shù)學(xué)到大學(xué)數(shù)學(xué)的變化。很多初入大學(xué)校園的學(xué)生在剛接觸高等數(shù)學(xué)的時(shí)候，由于在中學(xué)形成的思維定勢(shì)、文理科數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容與學(xué)習(xí)要求上的差異，無(wú)法適應(yīng)大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)方式與思維方法，甚至出現(xiàn)了高考成績(jī)?cè)酵怀龃髮W(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起來(lái)越吃力的現(xiàn)象。這篇文章從幾個(gè)角度出發(fā)，探討中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)在銜接過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題，并提出了對(duì)應(yīng)的解決策略，從而讓初上大一的廣大學(xué)子能夠更快更有效地進(jìn)入大學(xué)的學(xué)習(xí)環(huán)境中。

　　一、中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)銜接過(guò)程中所遇到的問(wèn)題

　　(一)知識(shí)的重疊

　　在高中階段，學(xué)生都學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念，懂得解決簡(jiǎn)單的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，學(xué)習(xí)優(yōu)秀者還掌握了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與極值。但這些所謂的“掌握”只停留在按部就班、機(jī)械化的訓(xùn)練所形成的固定的解題套路上。幾乎超過(guò)90%的學(xué)生不理解導(dǎo)數(shù)的概念，不明白為什么可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)描述函數(shù)的單調(diào)性與極值，對(duì)導(dǎo)數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)的來(lái)龍去脈一無(wú)所知。這就造成了一個(gè)嚴(yán)重的后果，學(xué)生在大學(xué)數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)過(guò)程中認(rèn)為自己已經(jīng)掌握了這部分內(nèi)容，對(duì)導(dǎo)數(shù)部分的學(xué)習(xí)掉以輕心，無(wú)法像一個(gè)初學(xué)者一般的認(rèn)真研習(xí)概念、推演公式和舉一反三。最終，學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的認(rèn)知仍然停留在高中階段那種“知其然，而不知其所以然”的狀態(tài)，但我們知道極限與微分是整個(gè)微積分的基礎(chǔ)，是萬(wàn)丈高樓的地基。同樣的情況還出現(xiàn)在解析幾何、定積分等知識(shí)點(diǎn)上。

　　(二)知識(shí)的斷層

　　由于高中階段數(shù)學(xué)分為文科數(shù)學(xué)與理科數(shù)學(xué)，高考大綱對(duì)二者的要求不相同，二者在高中階段的教學(xué)內(nèi)容不盡相同，所用教材也不一樣，如計(jì)數(shù)原理、排列組合、隨機(jī)變量與空間解析幾何這些知識(shí)點(diǎn)不會(huì)出現(xiàn)在文科數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，這就可能導(dǎo)致同一個(gè)專業(yè)同一個(gè)班級(jí)的學(xué)生在同一知識(shí)的認(rèn)識(shí)上出現(xiàn)較大的差異。一個(gè)最為突出例子:經(jīng)管類專業(yè)的學(xué)生在高中階段大部分是文科生，在給經(jīng)管類班級(jí)講授《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中發(fā)現(xiàn)絕大部分學(xué)生對(duì)排列組合等計(jì)算原理知識(shí)一無(wú)所知，在計(jì)數(shù)過(guò)程中采用的是枚舉法。然而，大學(xué)課程所用大多數(shù)教材的編寫都是基于排列組合這一基本知識(shí)之上，在教學(xué)過(guò)程“默認(rèn)”了學(xué)生已具備這一基本知識(shí)。這就出現(xiàn)了很嚴(yán)重的知識(shí)斷層，學(xué)生從首課開(kāi)始就注定無(wú)法跟上授課的進(jìn)度。高等數(shù)學(xué)中反三角函數(shù)、三角函數(shù)的和差積互化公式與立方和差公式等內(nèi)容也出現(xiàn)了上述同樣的問(wèn)題。

　　(三)思維的差異

　　中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的思維方式存在較大的差異。高中數(shù)學(xué)的總體思維模式是“模型化思想”與“固定思維”，強(qiáng)調(diào)的是具體化的知識(shí)點(diǎn)、問(wèn)題與方法相結(jié)合形成的一套思維模式;而大學(xué)數(shù)學(xué)的思維模式中，最重要的是“極限思維”與“抽象思維”。這兩種截然不同的思維方式讓很多大一新生無(wú)法接受最基本的“ε-N”、“ε-δ”定義，對(duì)這種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)定義不知所云。學(xué)生對(duì)著最基礎(chǔ)最重要的極限概念“吃不透”，可想而知后面學(xué)習(xí)連續(xù)、微分和積分將會(huì)非常吃力。鑒于這些普遍存在的問(wèn)題，做好中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接就成為廣大教師與學(xué)生要解決的問(wèn)題。

　　二、知識(shí)斷層的填補(bǔ)

　　作為大一新生的第一位數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該對(duì)高中課本與中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)有一定的了解，這可以更清晰地了解學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備與知識(shí)結(jié)構(gòu)，針對(duì)學(xué)生高中已學(xué)與大學(xué)將學(xué)知識(shí)內(nèi)容的斷層進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶钛a(bǔ)。一般的，正式課程前的預(yù)備知識(shí)包括:《高等數(shù)學(xué)》中反函數(shù)的概念以及反三角函數(shù)、立方和差等高次多項(xiàng)式的分解、三角函數(shù)的和差化積與積化和差公式、琴生不等式、空間解析幾何等;《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中計(jì)數(shù)原理與排列組合、計(jì)數(shù)方法、等可能概型等。在這個(gè)過(guò)程中，每個(gè)專業(yè)、每個(gè)班級(jí)的實(shí)際情況各不相同，教師可以通過(guò)調(diào)查問(wèn)卷等形式了解學(xué)生的基本情況。教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)把握好教學(xué)進(jìn)度，由慢而快，從易到難，使學(xué)生在接觸預(yù)備知識(shí)的過(guò)程中有充分的時(shí)間來(lái)適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)環(huán)境與學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生有足夠的信心來(lái)填補(bǔ)知識(shí)盲區(qū)，避免日后學(xué)習(xí)新知識(shí)的過(guò)程中學(xué)習(xí)興趣與成就感的喪失，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

　　三、教學(xué)方法的雕琢

　　教學(xué)過(guò)程中，教師在講授新內(nèi)容、新概念的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)多思考所講內(nèi)容對(duì)已形成思維定勢(shì)的學(xué)生是否能夠接受，在此過(guò)程中應(yīng)添加與之相關(guān)的中學(xué)知識(shí)加以聯(lián)系補(bǔ)充。例如:《高等數(shù)學(xué)》中最基本也最重要的極限概念，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)極限時(shí)，無(wú)法正確的理解無(wú)窮這一抽象的概念，畢竟它與中學(xué)數(shù)學(xué)那些客觀性、可描述性的概念不同。此時(shí)，可以借助中小學(xué)的一個(gè)基本常識(shí)來(lái)講解———0.999·=1。這是一個(gè)既能夠引起學(xué)生聽(tīng)課興趣，又能讓學(xué)生很好的理解無(wú)窮概念的例子。而等比數(shù)列的部分和計(jì)算是剛經(jīng)歷高考的他們?cè)偈煜げ粔虻闹�識(shí)了。通過(guò)高中階段掌握得內(nèi)容來(lái)推導(dǎo)出新的知識(shí)點(diǎn)，從而建立聯(lián)系，最后構(gòu)造完整的知識(shí)體系，是學(xué)生們最容易接受且印象深刻的教學(xué)方式。再者，這種方式能夠很好的引導(dǎo)學(xué)生思考，通過(guò)不同角度的認(rèn)識(shí)與理解已有知識(shí)，對(duì)其進(jìn)行合理的推演，得出新的概念，從而實(shí)現(xiàn)舊思維方式到新思維方式的轉(zhuǎn)變。大學(xué)數(shù)學(xué)中，有很多可以通過(guò)這種“搭橋推演法”來(lái)幫助學(xué)生理解的內(nèi)容，如導(dǎo)數(shù)概念、定積分概念等。在推演的過(guò)程中讓學(xué)生自然而然的達(dá)到思維的鍛煉與提升，而不是生搬硬套的背定理、記公式。

　　四、案例———《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》

　　接下來(lái)用一個(gè)案例來(lái)闡述如何在教學(xué)過(guò)程中做好知識(shí)的填補(bǔ)與教學(xué)方法的提升。以概率統(tǒng)計(jì)為例，在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(人教版)》教材中共有三本教材涉及到概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，其中第一本是文理通用的必修3;第二本是適用于文科學(xué)生的選修1～2;第三本是適用于理科生的選修2～3。必修3作為全體高中生的必修教材，將概率與統(tǒng)計(jì)兩部分最基本的內(nèi)容以簡(jiǎn)明的方式呈現(xiàn)給學(xué)生。統(tǒng)計(jì)部分，包括了隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體與變量間的相關(guān)關(guān)系，從如何獲得樣本到如何處理樣本，再到如何通過(guò)樣本去分析總體，章節(jié)間層層遞進(jìn)，從現(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)的例子引導(dǎo)學(xué)生正確的理解統(tǒng)計(jì)的思想，以及統(tǒng)計(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)間的思維差異;概率部分，包括了隨機(jī)事件的概率、古典概型與幾何概型，在學(xué)生們未接觸計(jì)數(shù)原理的情況下介紹了最常見(jiàn)的兩個(gè)概率模型，教材在這部分內(nèi)容的處理上加入了抽樣背景與實(shí)際例子，既能承接統(tǒng)計(jì)內(nèi)容又能讓學(xué)生更好地理解概念。文科數(shù)學(xué)在必修3的基礎(chǔ)上，還要學(xué)習(xí)選修1～2的兩個(gè)內(nèi)容———獨(dú)立性檢驗(yàn)與線性回歸分析，這部分內(nèi)容是進(jìn)一步培養(yǎng)文科學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的整理能力與分析能力，可以說(shuō)是對(duì)必修3中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的升華;而選修2～3除了這兩個(gè)內(nèi)容外，還對(duì)計(jì)數(shù)原理與隨機(jī)變量的分布有所要求，可以說(shuō)計(jì)數(shù)原理是大學(xué)概率論的基礎(chǔ)，缺失了這一部分內(nèi)容學(xué)習(xí)概率論將會(huì)非常吃力。大學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)課程是理工科學(xué)生與經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生的必修課程，以浙江大學(xué)編著的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第四版)》為例，該教材是非理學(xué)專業(yè)考研的指定教材，具有一定的代表性。在教材的第一章《概率論的基本概念》中并沒(méi)有計(jì)數(shù)原理的相關(guān)內(nèi)容，但卻在等可能概型這一節(jié)中直接使用了排列組合的方法，對(duì)高中階段沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)計(jì)數(shù)原理的文科生來(lái)說(shuō)，這無(wú)疑是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)。針對(duì)這種情況，有必要進(jìn)行相應(yīng)的知識(shí)填補(bǔ)，在正式進(jìn)行教材學(xué)習(xí)之前，應(yīng)適當(dāng)?shù)脑黾右恍�學(xué)時(shí)用于對(duì)計(jì)數(shù)原理的講授。安排如下。

　　(一)第一次課兩個(gè)計(jì)數(shù)原理(2學(xué)時(shí))

　　1.分類相加計(jì)數(shù)原理。文科學(xué)生在高中階段僅學(xué)過(guò)枚舉法計(jì)數(shù)，因此從分類相加法入手能很好的聯(lián)系已有的知識(shí)體系，構(gòu)建新的框架。再者，分類相加法是組合數(shù)的基礎(chǔ)，是古典概型求概率的常用計(jì)數(shù)方法。2.分步相乘計(jì)數(shù)原理。分步相乘法是非常重要的一個(gè)計(jì)數(shù)原理，它是排列數(shù)的基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)生理解相互獨(dú)立等后期的概念很有幫助。

　　(二)第二次課排列組合(4學(xué)時(shí))

　　1.排列組合。排列組合是計(jì)數(shù)的一個(gè)重要手段，是古典概型求概率的常用方法，通過(guò)之前對(duì)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的學(xué)習(xí)可以很好的理解排列組合的概念，從而掌握使用方法。在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的拓展與推演，得出排列組合的原理，溫故而知新。2.計(jì)數(shù)方法的拓展。在計(jì)數(shù)過(guò)程中有很多特定的方法與原則，如“間接法”、“捆綁法”、“插空法”、“隔板法”、“特殊位置優(yōu)先考慮原則”與“先組合后排列原則”等，這些方法常用于古典概型求概率的過(guò)程中。在教學(xué)過(guò)程中，要通過(guò)一些例子將這些拓展型的方法與技巧教授給學(xué)生，為后面學(xué)習(xí)概率與等可能概型奠定基礎(chǔ)。在新內(nèi)容的教授之前，教師應(yīng)該先對(duì)學(xué)生在高中階段的已學(xué)內(nèi)容進(jìn)行一個(gè)高度的總結(jié)，讓學(xué)生能清晰地認(rèn)識(shí)到將學(xué)內(nèi)容與已學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系與區(qū)別。在備課的過(guò)程中，盡量以“備學(xué)生”為宗旨，了解學(xué)生的基本情況，制定相應(yīng)的教學(xué)計(jì)劃，不能讓知識(shí)的斷層與階段差異變成學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。總而言之，為了更好地讓學(xué)生從中學(xué)數(shù)學(xué)到大學(xué)數(shù)學(xué)平穩(wěn)的過(guò)渡，教學(xué)要實(shí)現(xiàn)知識(shí)斷層的銜接、思維方式的轉(zhuǎn)變。這無(wú)疑對(duì)教師又提出了一個(gè)重大的任務(wù)，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真對(duì)待這個(gè)問(wèn)題，通過(guò)合理的調(diào)查、收集和分析，科學(xué)的制定相應(yīng)的教學(xué)計(jì)劃，使大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生們的學(xué)習(xí)能力得到進(jìn)一步的提高。

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　　《中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)銜接探討》來(lái)源：《產(chǎn)業(yè)與科技論壇》，作者：陳博照