數(shù)學教學管理政策以及數(shù)學應用方式等等方面都是當前數(shù)學教學工作者十分在意的方面，同時數(shù)學教學的改革和管理模式也是大家都要了解的方面。

　　摘要：課堂上的數(shù)學實驗,有的探究過程簡明扼要,有的則要繞很大的“彎子”,但都是源于學生認知需求的即時生成,都綻放著個性的光芒,凸顯著個體探求未知領域的激情.

　　關鍵詞：數(shù)學教學,數(shù)學應用,數(shù)學論文

　　一、數(shù)學實驗的兩個案例

　　【案例1】這個圖形穩(wěn)定嗎?

　　教學人教版初中數(shù)學七年級下冊《三角形的穩(wěn)定性》一課,在對學生已經(jīng)獲得的“三角形的穩(wěn)定性”和“四邊形的不穩(wěn)定性”的知識的應用環(huán)節(jié),筆者設計了這樣的數(shù)學活動:

　　如圖1,在六邊形ABCDEF的木框中,至少添加幾根木條,才能使整個木框保持穩(wěn)定?

　　推薦期刊：《數(shù)學教學通訊》雜志是由西南大學主管,西南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院與重慶數(shù)學學會主辦的中學數(shù)學教學研究類期刊,創(chuàng)刊于1979年。近30年堅持為中學數(shù)學教學服務的辦刊宗旨;堅持與時俱進,始終站在數(shù)學教育研究的前沿;堅持貼近教學實際,貼近讀者要求,為讀者提供實用、優(yōu)質(zhì)的教學研究平臺與資源。

　　學生經(jīng)過自主探究,畫出了4種添加方法,如圖2~圖5所示.

　　觀察發(fā)現(xiàn),這4種方法可以分為兩類:圖2~圖4為一類,都是添加了3根木條,將原有的六邊形ABCDEF分解成了四個三角形,根據(jù)“三角形的穩(wěn)定性”,此時,木框是能夠保持穩(wěn)定的;圖5則是另一類,只添加了兩根木條,沒有形成固定的三角形,所得的圖形顯然是不穩(wěn)定的.

　　正準備對圖5中的方法加以糾正,突然,一位學生站了起來,說道:“如果我在兩根木條AD與BE的交點O處釘上一個釘子,整個圖形不就穩(wěn)定了?”此話一出,全班爭論聲頓起,有學生贊同他的說法,也有學生認為圖形仍然是不穩(wěn)定的.

　　該生的突發(fā)奇想已經(jīng)偏離了預設的教學活動.因為,根據(jù)活動要求,是不可以加“釘子”的.但是學生的爭論不休源于沒有與之關聯(lián)的生活經(jīng)驗,經(jīng)驗的缺失導致了爭議——是“穩(wěn)定”還是“不穩(wěn)定”,僅憑言語是無法讓人信服的.

　　稍加思考,我做出決定,用數(shù)學實驗來給出有力的回答:

　　將小組中的原有學具拆開,釘出一個如圖1所示的六邊形木框ABCDEF,并用兩根木條分別固定A、D兩點和B、E兩點.設AD與BE的交點為O,請在O點處不釘釘子和釘上釘子這兩種情況下,分別拉動六邊形,看其形狀是否會發(fā)生變化,并試著去說明穩(wěn)定與不穩(wěn)定的理由.

　　10分鐘后,學生經(jīng)過探究、交流,歸納得出如下結論:

　　(1)在O點處不釘釘子時,整個圖形能夠拉動,圖形不穩(wěn)定;在O點處釘上釘子后,整個六邊形木框ABCDEF無法拉動,也就是說圖形是穩(wěn)定的.

　　(2)當O點處不釘釘子時,拉動六邊形的過程中,AD與BE的交點O在AD和BE上移動,隨著O點的移動,圖5中的四邊形,如AOEF、BODC,它們的形狀都在發(fā)生變化,整個圖形自然就不穩(wěn)定了;而如果在O點處釘上釘子,圖5中的AO、BO、EO、DO的長度和∠AOE、∠BOD的度數(shù)等都已經(jīng)固定,雖然圖5的AE、BD沒有連起來,但實際上其長度也已經(jīng)固定,這樣一來,原六邊形被分成了多個三角形(根據(jù)全等三角形的判定方法,圖中形成的三角形都是唯一的),如△AOB,△DOE,△AOE,△AEF,△BOD,△BCD等,這些三角形的存在使得整個圖形必然是穩(wěn)定的.

　　在這個數(shù)學實驗的過程中,學生將六邊形ABCDEF引發(fā)的問題化歸為三角形問題,進一步鞏固了本課所學的新知“三角形具有穩(wěn)定性”;同時,更加深了對數(shù)學思想方法的領悟,如“釘釘子”與“不釘釘子”體現(xiàn)的是分類討論的思想,將六邊形轉(zhuǎn)化為三角形體現(xiàn)的是化歸的思想,而最終通過三角形來說理則是模型思想.值得一提的是,實驗過程中,學生在“行”和“不行”之間反復探究,在“是”與“非”之間充分辨析,積累下了無形財富——數(shù)學活動經(jīng)驗.

　　【案例2】這樣能證明“三角形的內(nèi)角和定理”嗎?

　　人教版初中數(shù)學七年級下冊《三角形的內(nèi)角》一課,在探究“三角形的內(nèi)角和等于180°”這一定理時,教材設計了如下的數(shù)學實驗:

　　在紙上畫一個三角形,將它的內(nèi)角剪下來拼合在一起,就得出了一個平角.從這個操作過程中,你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎?

　　課堂上,學生通過實驗探究,給出了4種拼圖(如圖6~圖9).通過圖中的輔助線l,學生很快就得出了證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”的方法.

　　我追問:“還有其他得出輔助線的方法嗎?提出你的猜想.”

　　學生圍繞輔助線的情況,提出了兩個問題:(1)如果只撕下一個角,還能得到直線l嗎?(2)如果不撕角,是否可以將∠A翻折下來,使A點正好落在BC上的A'處,而且翻折后得到的∠A'的兩邊正好分別與原三角形的AC,AB邊平行?

　　圍繞這兩個猜想,我安排了如下的數(shù)學實驗:(1)撕下三角形紙片的一個角,將其與三角形的另一內(nèi)角拼合到一起,探究證明“三角形內(nèi)角和等于180°”的思路.(2)將∠A翻折下來,使A點正好落在BC上的A'處,翻折后∠A'的兩邊能否正好分別與AC,AB邊平行?如果能,請?zhí)骄砍鲎C明“三角形內(nèi)角和等于180°”的思路.

　　接下來,學生實驗探究.在各學習小組組長的組織下,通過拼合、折疊等方法,得出了如下實驗結果:

　　如圖10,通過只剪下一個角構造出平行于AB的直線l,然后根據(jù)“兩直線平行,同旁內(nèi)角互補”,便可證出“三角形的內(nèi)角和為180°”.如圖11,在BC邊上找到了一個符合猜想(2)的點A'——形成的四邊形ADA'E為菱形,其中A'D//AC,A'E//AB,所以∠B=∠CA'E,∠C=∠BA'D,所以∠A+∠B+∠C=∠DA'E+∠CA'E+∠BA'D=180°.

　　弗賴登塔爾說:“數(shù)學知識既不是教出來的,也不是學出來的,而是研究出來的.”作為獲取數(shù)學認知的一種重要手段,數(shù)學實驗也是學生獲取新知的重要途徑,它能幫助學生發(fā)現(xiàn)結論,并找出“嚴格”證明結論的途徑.這則數(shù)學實驗就是很好的例子.在兩輪“剪角拼圖”的數(shù)學實驗中,學生按照“剪下的角的個數(shù)”,分兩種情況進行了探究,發(fā)現(xiàn)了多種拼圖方法,并從中抽象出用于證明定理的輔助直線L這樣的實驗過程,為“三角形的內(nèi)角和定理”的證明鋪平了道路.

　　二、關于數(shù)學實驗的思考

　　(一)數(shù)學實驗是重要的數(shù)學學習方式

　　數(shù)學實驗,源于學生數(shù)學學習的需要.無論是新知探究還是舊知回顧,抑或是知識的綜合應用,學生通過動手操作、合理猜想,拓寬了學習道路,發(fā)展了幾何直觀和推理能力,感受到數(shù)學的魅力和價值.

　　本文中的兩個案例僅是數(shù)學實驗中的“滄海一粟”,但就是這樣的“一粟”,也足以吸引學生的眼球.學生通過反復實驗探究,在不斷試誤后,最終得出了正確的結論.學生通過實驗、理性辨析提出的設想——否定錯誤的猜想,并為正確的結論找尋出嚴格論證的路徑.這種具體的、可視的數(shù)學實驗,為學生提供了切實可行的數(shù)學學習方式,讓他們突破了“埋頭死讀書”的數(shù)學學習困境.

　　(二)數(shù)學實驗需要充足的時間做保證

　　在充滿著教學期待的數(shù)學實驗中,多一分鐘的等待,就可能會多出一份別樣的精彩.數(shù)學實驗一般都要經(jīng)歷“提出設想—實驗探究—觀察思考—推理說明”的過程,在這個過程中,充足的實驗時間將會讓學生的探究和生成更加充分、到位,有助于結論的形成和接下來的推理說明.在兩個案例中,筆者都留給了學生10分鐘的實驗探究時間.在這10分鐘的時間里,有些學生經(jīng)過了多次反反復復的實驗探究,得出了自認為準確的結論,而在與同伴交流后卻又發(fā)現(xiàn)自己的失誤,于是實驗不得不重來一次.“重來一次”,這就又需要時間.只有有了充足的時間,學生才可以有效地調(diào)控實驗進程,正確地調(diào)整影響實驗成果的數(shù)學因素,減少實驗中非數(shù)學因素的干擾,避免無謂的實驗失誤,確保實驗成果準確有效、合乎規(guī)律.由此,數(shù)學實驗順利展開,在舊知識的“提取”和新知識的鞏固中,學生思維的深度和廣度都得到了拓展.

　　(三)教師要參與實驗并提供必要的幫助

　　作為課堂教學的“組織者、引導者、合作者”,教師應參與到數(shù)學實驗中去,指導實驗方法,協(xié)助學生發(fā)現(xiàn)實驗生成.尤其在學生實驗遇到困難時,教師應及時指點迷津,讓學生脫離“困境”.這種處于實驗關鍵時點的“幫助”,不是為了“錦上添花”,只求實現(xiàn)“雪中送炭”,促成實驗的高效推進和成果的及時生成.

　　(四)數(shù)學實驗成果要及時“數(shù)學化”

　　這里的“數(shù)學化”,是指將“實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題”.弗賴登塔爾認為,“在‘一浪接一浪’的數(shù)學化進程中,學習者經(jīng)歷了一個又一個由現(xiàn)實的情景問題到數(shù)學問題,由不那么嚴格的數(shù)學體驗到嚴格的數(shù)學系統(tǒng)的學習過程”.數(shù)學實驗無論實驗成功與否,其生成都是豐富的,都一定會產(chǎn)生眾多的實驗“成果”.這些實驗“成果”緊貼學生的認知基礎,非常接“地氣”.教師應及時帶領學生梳理實驗中形成的成果,并使之“數(shù)學化”,賦予數(shù)學的圖形語言、符號語言和數(shù)學化的結論,以引導學生學會“數(shù)學地”發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題.數(shù)學實驗成果的“數(shù)學化”,一方面體現(xiàn)了數(shù)學知識的應用價值,讓學生進一步感悟“數(shù)學是有用的”,形成數(shù)學建模的意識和思維慣性;另一方面,將數(shù)學知識和生活情境緊密聯(lián)系了起來,讓學生“學會數(shù)學地認識和解決問題”,促進認知網(wǎng)絡的建構與完善.