摘要：從基樁任意微段的平衡微分方程出發，應用級數推導基樁的撓曲線方程，將基樁所承受的復雜荷載作為邊界條件考慮，進而在法對樁側阻假設的基礎上推導出傾斜載荷作用下的基樁在飽和粘性土中的撓曲線方程。算例表明，結果與實際比較接近。
　　關鍵詞撓曲線、平衡微分方程、級數、傾斜荷載、法
　　
　　引言
　　實際工程中，基樁往往同時承受傾斜荷載的作用。樁側土體的彈性抗力分布非常復雜，因此傾斜荷載下基樁的受力性狀比單一的豎向或水平荷載作用情況要復雜得多。由于這一問題的復雜性，目前各規范在工程中往往采用簡化的計算方法，即將樁頂豎向力和水平力分開計算，再根據小變形疊加原理，計算樁身的內力和位移。
　　本文從基樁任意微段的平衡微分方程出發，應用級數推導基樁的撓曲線方程。
　　1.基樁撓曲微分方程的建立
　　基樁在豎向及水平荷載共同作用下，取土體中
　　基樁任一微段如圖1所示[1]，微段兩端橫截面作用有彎矩、剪力和軸力，樁側受有土的抗力。此外，沿樁軸向尚受有樁側土的摩阻力及樁自重作用，其影響均可歸于之中。因此對圖中微段下端中點取矩可得:
　　
　　圖1基樁受力分析
　　（1）
　　略去二階微分微量，則:
　　（2）
　　由力的平衡以及材料力學整理得
　　（3）
　　若設樁的截面保持不變，即EI為常數，則上式可變為:
　　（4）
　　式（4）為基樁在軸向和橫向荷載同時作用下的撓曲微分方程式。根據的假設不同，其解答亦不同。
　　2.撓曲微分方程的解答
　　要求解式（4），必須首先確定軸力和樁側土抗力。
　　2.1軸力的確定
　　圖2為豎直基樁在樁頂軸力的作用下，作用
　　圖2基樁軸力分析
　　深度處、周長為，厚度為的微小樁段的受力圖，由力的平衡條件：
　　（5）
　　可得樁側摩阻力與樁身軸力的關系：
　　（6）
　　從而推出軸力
　　（7）
　　對于均勻土層，軸力可表示為
　　（8）
　　式中——深度z處橫截面軸力；
　　——為樁頂處軸力；
　　——樁側摩阻力；
　　——樁橫截面周長。
　　樁側摩阻力的計算分總應力法和有效應力法兩大類，包括法、法、法、Flaate法、臨界狀態法等。
　　對正常固結粘性土和砂土采用法（屬有效應力法）計算，，采用有效應力法正常固結粘性土，砂土，則樁側阻可以表示為
　　
　　其中，為粘著系數，與土類、樁的類型、樁的設置方法以及時間效應有關。
　　則軸力
　　（9）
　　2.2樁側壓力的確定
　　樁側土壓力按位移方向可分為：靜止土壓力、主動土壓力和被動土壓力。
　　
　　圖3基樁側壓力分析
　　實際受力的基樁可認為為主動土壓力，為被動土壓力（如圖3所示），并且符合庫倫土壓力條件，則
　　（10）
　　式中，，為主動土壓力系數，為被動土壓力系數，則
　　（11）
　　將式（9）及式（11）代入式（4）得到基樁在飽和粘性土中傾斜載荷作用下的撓曲線微分方程
　　（12）
　　整理得
　　（13）
　　2.3微分方程的求解
　　式（13）為四階線性非齊次方程，其解由特解和通解組成。
　　對應齊次方程
　　（14）
　　的通解的形式為
　　（15）
　　將其代入式（14）由對應系數相等得到
　　則齊次方程式（14）的解為
　　（16）
　　表示為
　　（17）
　　其中、，該冪級數收斂半徑為無限大。
　　對應非齊次方程式（13）的一個特解為：
　　（18）
　　至此基樁在正常固結粘性土和砂土中傾斜載荷作用下的撓曲線微分方程式（13）的解為：
　　；
　　已知邊界條件①為
　　
　　邊界條件②為
　　
　　
　　將邊界條件代入微分方程解中可以得出常數，，，。
　　3.結論
　　1.根據靜力平衡狀態下基樁的實際受力情況，推導出基樁在正常固結粘性土和砂土中的撓曲線微分方程式（6）。
　　2.對于基樁撓曲線的四階線性非齊次方程的解，形式上由其次方程的通解和非齊次特解構成，本文采用級數法對高階微分方程進行了求解，其解可以表示成，其中為其次方程的通解式（16）或式（17），為非齊次方程的特解式（18）。
　　參考文獻：
　　[1]趙明華.傾斜荷載下基樁的受力研究.博士學位論文，湖南大學：2001
　　[2]史佩棟.實用樁基工程手冊.中國建筑工業.2003.
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　　[4]董建國，沈錫英，鐘才根.土力學與地基基礎.同濟大學.2005.